Matemática discreta Ejemplos

$4 x - 5 y = 31$ , $2 x + 3 y = - 1$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x - 5 y = 31$ .

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Paso 1.1

Suma $5 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 31 + 5 y$

$2 x + 3 y = - 1$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 31 + 5 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 31 + 5 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$2 x + 3 y = - 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + 3 y = - 1$ por $\frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$ .

$2 (\frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (\frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}) + 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{31}{4}) + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (\frac{31}{2 (2)}) + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{31}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{31}{2} + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{31}{2} + 2 (\frac{5 y}{4}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{31}{2} + 2 (\frac{5 y}{2 (2)}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{31}{2} + 2 (\frac{5 y}{2 \cdot 2}) + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{31}{2} + \frac{5 y}{2} + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{31}{2} + \frac{5 y}{2} + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{31}{2} + \frac{5 y}{2} + 3 y = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{31}{2} + \frac{5 y}{2} + 3 y \cdot \frac{2}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Combina $3 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{31}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{3 y \cdot 2}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{31}{2} + \frac{5 y + 3 y \cdot 2}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{31 + 5 y + 3 y \cdot 2}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{31 + 5 y + 6 y}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.7

Suma $5 y$ y $6 y$ .

$\frac{31 + 11 y}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{31 + 11 y}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{31 + 11 y}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$\frac{31 + 11 y}{2} = - 1$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{31 + 11 y}{2} = - 1$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{31 + 11 y}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{31 + 11 y}{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{31 + 11 y}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$31 + 11 y = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$31 + 11 y = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $31$ y $11 y$ .

$11 y + 31 = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$11 y + 31 = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$11 y + 31 = - 1 \cdot 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$11 y + 31 = - 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$11 y + 31 = - 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$11 y + 31 = - 2$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $31$ de ambos lados de la ecuación.

$11 y = - 2 - 31$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.2

Resta $31$ de $- 2$ .

$11 y = - 33$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$11 y = - 33$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $11 y = - 33$ por $11$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $11 y = - 33$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{- 33}{11}$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 y}{11} = \frac{- 33}{11}$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 33}{11}$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{- 33}{11}$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{- 33}{11}$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 33$ por $11$ .

$y = - 3$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 3$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 3$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 3$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

$y = - 3$

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{31}{4} + \frac{5 y}{4}$ por $- 3$ .

$x = \frac{31}{4} + \frac{5 (- 3)}{4}$

$y = - 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{31}{4} + \frac{5 (- 3)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{31 + 5 (- 3)}{4}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$x = \frac{31 - 15}{4}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $15$ de $31$ .

$x = \frac{16}{4}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $16$ por $4$ .

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, - 3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(4, - 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 4, y = - 3$

Paso 7